2進数入門⌗

n個の数字を使って数を表現する方法をn進数と言います。私達が通常使っているのは0から9までの数字を使った10進数です。でも、コンピュータの世界では0と1だけを使った2進数が基本となります。なぜコンピュータは2進数を使うのでしょうか？

コンピュータは電気信号を使って動作しており、電気の「ON(1)」と「OFF(0)」の状態を基本として情報を処理します。そのため、2進数がコンピュータにとって最も自然な数の表示方法なのです。

n進法の基本概念⌗

n進数の基本ルール⌗

10進数：　0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 （10個の数字）
2進数：　0, 1 （2個の数字）
8進数： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 （8個の数字）
16進数： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F （16個の数字）

16進数では、10以上の値をAからFのアルファベットで表現します。

位取り記数法の理解⌗

すべての進数は「位取り記数法」という原理に基づいています。これは、数字の位置によって、その数字が表す値が変わるという仕組みです。

10進数の例⌗

1234 = 1*10^3 + 2*10^2 + 3*10^1 + 4*10^0
     = 1*1000 + 2*100 + 3*10 + 4*1
     = 1000 + 200 + 30 + 4
     = 1234

この原理は他の進法でも同じように適用されます。

2進法の基本概念⌗

2進法の仕組み⌗

2進法は、0と1の2つの数字だけを使って数を表現します。位取り記数法により、右から左に向かって2の0乗、2の1乗、2の2乗…という重みを持ちます。

2進数の例⌗

1011 = 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0
     = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1
     = 8 + 0 + 2 + 1
     = 11

なお、2進数の「1011」は10進数の「1011」と区別するため、例えばPythonでは先頭に「0b」を付けて0b1011のように表示します。

2進数の数え方⌗

2進数では、0から始まって以下のように数を数えます。

10進数	2進数
0	0
1	1
2	10	(1*2^1 + 0*2^0)
3	11	(1*2^1 + 1*2^0)
4	100	(1*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0)
5	101	(1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0)
6	110	(1*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0)
7	111	(1*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0)
8	1000	(1*2^3 + 0*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0)

2進法では、各桁で「繰り上がり」の発生するタイミングが10進法とは異なります。 10進法の2を表す際、0→1の次は、もう使える数字がないので0b10になります。

ビットとの関係⌗

ビットとは⌗

ビット(bit)とは、2進数の1桁を表す単位です。1ビットは0または1の値を持ちます。

2進数: 1011
ビット: 4ビット（4桁）

バイトとの関係⌗

「1バイト = 8ビット」という関係があります。これは、コンピュータが情報を処理する際の基本単位となっています。

8ビットで表現できる値の範囲⌗

最小値： 00000000 = 0
最大値： 11111111 = 255

2進数の簡単な覚え方⌗

パターン1 : 2の累乗（2を何回も掛け合わせる値）を暗記する⌗

まず2の累乗（2を何回も掛け合わせる値）を覚えることから始めましょう。これは2進数変換の基礎となります。

2^0 = 1
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
2^6 = 64
2^7 = 128
2^8 = 256

覚え方のコツ⌗

2の累乗は、前の値を2倍していくだけです。

1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 …

この数列を覚えることで、2進数の各桁の重みが分かります。

パターン2 : 規則性を見つける⌗

2進数には規則性があります。

10進数	2進数（3桁で表示）	3桁目（4の位）	2桁目（2の位）	1桁目（1の位）
0	000	0	0	0
1	001	0	0	1
2	010	0	1	0
3	011	0	1	1
4	100	1	0	0
5	101	1	0	1
6	110	1	1	0
7	111	1	1	1

各桁の規則性⌗

1桁目（右端）：1つおきに0と1が交互に現れる
2桁目：2つずつ0が続き、2つずつ1が続く
3桁目：4つずつ0が続き、4つずつ1が続く

1桁目（1の位）： 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1...（1つおきに変化）
2桁目（2の位）： 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1...（2つおきに変化）
3桁目（4の位）： 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1,..（4つおきに変化）

この法則は、「n桁目は2^(n-1)個おきに変化する」という法則にまとめりことができます。この法則性を理解することで、2進数の並びを覚えやすくなります。

10進数から2進数への変換⌗

割り算を使った変換方法⌗

最も基本的で確実な方法は、10進数を2で割り続ける方法です。

ステップバイステップの手順⌗

10進数を2で割る
商（割った答え）と余り（0か1）を記録する
商（割った答え）が0になるまで2.を繰り返す
余りを下から上に読む

例：13を2進数に変換⌗

13 ÷ 2	= 6 余り 1
6 ÷ 2	= 3 余り 0
3 ÷ 2	= 1 余り 1
1 ÷ 2	= 0 余り 1

余りを下から読む：1101

2の累乗を使った変換方法⌗

2の累乗を暗記している場合、より直感的な方法があります。

例：13を2進数に変換⌗

13以下の2の累乗数を探す 1, 2, 4, 8, 16…の中で、13以下の累乗数は「1, 2, 4, 8」
13以下の累乗数のうち一番大きい8を13から引く → 残り5
次に大きい4を残り5から引く → 残り1
次に大きい2は残り1より大きいので、2は引かない
次に大きい1を残り1から引く → 残り0

残りが0になったので、引いた累乗値で 8 + 4 + 1 = 13 = 2^3 + 2^2 + 2^0　と表せる。

13を作るために引いた2の累乗の位置に「1」、引かなかった2の累乗の位置に「0」を入れます。

2の累乗	8(2^3)	4(2^2)	2(2^1)	2(2^0)
引いた？	yes	yes	no	yes
2進数	1	1	0	1

したがって、13の2進数表現は1101になります。

16進数⌗

コンピュータは2進数が基本ですが、2進数は桁数が多くて表示するのが大変です。そこで、一般的には、2の累乗数である8や16を使って8進数や16進数で2進数の値を表現するのが一般的です。ここでは、最も一般的な16進数について説明します。

2進数と16進数の関係⌗

2進数の値を4桁ずつ区切って、各4桁の値を0から15（16進数では0からF）で表現したものが16進数になります。

11011010（10進数で218) →　|1101|1010| → |D|A| → DA（16進数）

同様に、16進数の値は桁ごとに4桁の2進数に変換すれば、2進数になります。

DA（10進数で218) →　|D|A| → |1101|1010| → 11011010（2進数）

このように、2進数と16進数は簡単に変換できるので、コンピュータの世界では2進数の代わりに16進数で表現することが一般的です。なお、8進数も同様に3桁区切りで簡単に変換できるので、16進数ほど一般的ではありませんが、使われています。

16進数の基本⌗

16進数は0〜9とA〜Fの16個の文字を使います。参考までに、8進法と2進法との対応も記載しました。

10進数	16進数	8進数	2進数
0	0	0	0
1	1	1	1
2	2	2	01
3	3	3	11
4	4	4	100
5	5	5	101
6	6	6	110
7	7	7	111
8	8	10	1000
9	9	11	1001
10	A	12	1010
11	B	13	1011
12	C	14	1100
13	D	15	1101
14	E	16	1110
15	F	17	1111

16の累乗を暗記する⌗

16^0 = 1
16^1 = 16
16^2 = 246
16^3 = 4096

10進法から16進法への変換⌗

割り算を使った変換⌗

例：255を16進数に変換⌗

255 ÷ 16 = 15 余り 15
15 ÷ 16 = 0 余り 15

余り15 = F
余り15 = F

結果： FF

2進数経由の変換⌗

先程説明した2進数と16進数の関係を利用します。

例：255を16進数に変換⌗

10進数を2進数に変換

255 = 11111111
4桁ずつ区切る（右から）

11111111 = |1111|1111|
区切った4桁を16進数に変換

1111 = F 1111 = F
結果

FF

2進数と16進数の対応は、先程の対応表を参照してください。

16進数から10進数への変換⌗

基本的な考え方⌗

16進数から10進数への変換も、位取り記数法を使います。 16進数の各桁に16の累乗数をかけて、それらを足し合わせます。

16進数の文字を数値に変換⌗

16進法で10〜15の値にA〜Fのアルファベットを使われることを忘れずに。

A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15

変換の手順⌗

16の累乗を実際の数値に置き換え
各項を計算
合計して10進数を得る

例：16進数のABを10進数に変換⌗

16進数：AB

まず文字を数値に変換
A = 10, B = 11

各桁に16の累乗数をかけて計算
10*16^1 + 11*16^0
= 10*16 + 11*1
= 160 + 11
= 171

例：16進数のFF00を10進数に変換⌗

16進数：FF00

まず文字を数値に変換
F = 15, F = 15, 0 = 0, 0 = 0

各桁に16の累乗数をかけて計算
15*16^3 + 15*16^2 + 0*16^1 + 0*16^0
= 15*4096 + 15*256 + 0*16 + 0*1		# 16の累乗数を実際の数値に置き換え
= 61440+ 3840 + 0 + 0			# 各項を計算
= 65200					# 合計して10進数を得る

よくある間違いと注意点⌗

間違い１：進数の表記を混同する⌗

☓誤：10進数の10を2進数で「10」と書く
◯正：10進数の10は2進数で「1010」

☓誤：2進数の10を10進数の10と読む
◯正：2進数の10は10進数の2

間違い２：桁の重みを間違える⌗

☓誤：2進数の右から1桁目を2^1とする
◯正：2進数の右から1桁目は2^0（=1)

2進数の正しい桁の重み
位置：	4桁目	3桁目	2桁目	1桁目
重み：	2^3	2^2	2^1	2^0
値：	8	4	2	1

間違い３：16進数の文字を誤解する⌗

☓誤：16進数のAを10進数の「11」と誤解
◯正：16進数のAは10進数の「10」

16進数の対応
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15

KB（キロバイト）、MB（メガバイト）、GB（ギガバイト）、TB（テラバイト）とは⌗

コンピュータのメモリの大きさなどでよく、KB、MB、GB、TBというのを目にします。キロ(K)とは、1000倍のことで、1000mのことを1km、1000gのことを1kgといいます。キロ(k)の1000倍がメガ(M)、メガの1000倍がギガ(G)、ギガの1000倍がテラ(T)です。

ただし、コンピュータの世界では2進数が基本なので、コンピュータの世界でのキロ(K)は1000倍ではなく、2^10（2の10乗）の1024倍になります。したがって、1KBは1000Bではなく、1KB = 1024Bになります。同様に1MB = 1024KB、1GB = 1024MB、1TB = 1024GBとなります。

1TB = 1024GB = 1048576MB = 1073741824KB = 109951162776B = 8796093022208bit　となり、1TBのメモリには8796093022208個のデータ(0か1）が格納できることになります。

課題⌗

課題１⌗

Pythonで10進数を2進数に変換するプログラムを作ってください。数値を入力して、2進数の値を0か1の文字列にして、print関数で出力してください。 Pythonには10進数を2進数に変換する便利な関数が用意されていますが、それを使わず、「割り算を使った変換方法」か「の累乗を使った変換方法」でプログラムを作成してください。

回答例

def dec2bin(x):
	s = ""
	while True:
		s = ("0" if x % 2 == 0 else "1") + s
		x //= 2
		if x == 0:
			break
	return s
	
x = int(input())
print(dec2bin(x))

課題２⌗

Pythonで2進数の文字列を入力して、10進数の数値に変換してprint関数で出力してください。 Pythonには2進数を10進数に変換する便利な関数が用意されていますが、それを使わず、「位取り記数法」でプログラムを作成してください。

回答例

def bin2dec(b):
	s = reversed(b)
	x = 0
	i = 1
	for c in s:
		x += int(c) * i
		i *= 2
	return x
	
b = input()
print(bin2dec(b))

課題３⌗

Pythonで10進法を16進法に変換するプログラムを作ってください。数値を入力して、16進数の値を0〜Fを使用したの文字列にして、print関数で出力してください。また、Pythonで16進数の文字列を入力して、10進数の数値に変換してprint関数で出力してください。いずれもPythonで用意された関数は使わないで「割り算を使った変換」や「位取り記数法」でプログラムを作成するか、先程作った2進数・10進数変換プログラムを経由したプログラムを作成してください。

回答例

def dec2hex(x):
	s = ""
	while True:
		s = "0123456789ABCDEF"[x%16] + s
		x //= 16
		if x == 0:
			break
	return s
	
x = int(input())
print(dec2hex(x))

def hex2dec(b):
	s = reversed(b)
	x = 0
	i = 1
	for c in s:
		x += "0123456789ABCDEF".index(c) * i
		i *= 16
	return x
	
b = input()
print(hex2dec(b))

レッスン110

2進数入門⌗

n進法の基本概念⌗

n進数の基本ルール⌗

位取り記数法の理解⌗

10進数の例⌗

2進法の基本概念⌗

2進法の仕組み⌗

2進数の例⌗

2進数の数え方⌗

ビットとの関係⌗

ビットとは⌗

バイトとの関係⌗

8ビットで表現できる値の範囲⌗

2進数の簡単な覚え方⌗

パターン1 : 2の累乗（2を何回も掛け合わせる値）を暗記する⌗

覚え方のコツ⌗

パターン2 : 規則性を見つける⌗

各桁の規則性⌗

10進数から2進数への変換⌗

割り算を使った変換方法⌗

ステップバイステップの手順⌗

例：13を2進数に変換⌗

2の累乗を使った変換方法⌗

例：13を2進数に変換⌗

16進数⌗

2進数と16進数の関係⌗

16進数の基本⌗

16の累乗を暗記する⌗

10進法から16進法への変換⌗

割り算を使った変換⌗

例：255を16進数に変換⌗

2進数経由の変換⌗

例：255を16進数に変換⌗

16進数から10進数への変換⌗

基本的な考え方⌗

16進数の文字を数値に変換⌗

変換の手順⌗

例：16進数のABを10進数に変換⌗

例：16進数のFF00を10進数に変換⌗

よくある間違いと注意点⌗

間違い１：進数の表記を混同する⌗

間違い２：桁の重みを間違える⌗

間違い３：16進数の文字を誤解する⌗

KB（キロバイト）、MB（メガバイト）、GB（ギガバイト）、TB（テラバイト）とは⌗

課題⌗

課題１⌗

課題２⌗

課題３⌗